Question

13．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，且滿足csinA-$\sqrt{3}$acosC=0．
（1）求角C的大��；
（2）若c=2，求△ABC的面積S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化簡已知等式可得$sinCsinA=\sqrt{3}sinAcosC$，結(jié)合sinA≠0，可求$tanC=\sqrt{3}$，結(jié)合范圍0＜C＜π，即可求得C的值．
（2）由已知及余弦定理得4=a²+b²-ab，結(jié)合基本不等式可求ab≤4，根據(jù)三角形的面積公式即可得解．

解答 解：（1）∵$csinA-\sqrt{3}acosC=0$，
∴由正弦定理得$sinCsinA=\sqrt{3}sinAcosC$，…（2分）
∵0＜A＜π，
∴sinA≠0，…（3分）
∴$tanC=\sqrt{3}$，…（4分）
∵0＜C＜π，
∴$C=\frac{π}{3}$． …（6分）
（2）由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，又c=2，$C=\frac{π}{3}$，
∴4=a²+b²-ab，…（8分）
∵a＞0，b＞0，
∴ab+4=a²+b²≥2ab，…（9分）
∴ab≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時等號成立，…（10分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{3}}}{4}ab≤\sqrt{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時等號成立，…（11分）
∴△ABC的面積S的最大值為$\sqrt{3}$．     …（12分）

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．