Question

16．已知點(diǎn)P為圓x²+y²=4上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為Q（P與Q不重合），M為線段PQ中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）直線y=kx交（1）中軌跡C于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線MA，MB斜率K_MA，K_MB都存在時(shí)，求證：K_MA•K_MB為定值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（x，y），則點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，2y），點(diǎn)Q坐標(biāo)為（x，0），因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上，代入求解即可．
（2）設(shè)A（x₀，y₀），B（-x₀，-y₀），再設(shè)M坐標(biāo)為（x，y），求出直線MA，MB斜率K_MA，K_MB，利用${K_{MA}}•{K_{MB}}=\frac{{{y^2}-{y_0}^2}}{{{x^2}-{x_0}^2}}$，點(diǎn)M，A在橢圓C上，所以$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ \frac{{{x_0}^2}}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$，利用平方差法轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（x，y），則點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，2y），點(diǎn)Q坐標(biāo)為（x，0），因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上，
所以x²+4y²=4，即$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
又P與Q不重合，所以y≠0，點(diǎn)M的軌跡C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1（{y≠0}）$；
（2）證明：因?yàn)橹本�y=kx過(guò)原點(diǎn)，所以A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不妨設(shè)其坐標(biāo)為A（x₀，y₀），B（-x₀，-y₀），再設(shè)M坐標(biāo)為（x，y），則直線MA，MB斜率K_MA，K_MB分別為${K_{MA}}=\frac{{y-{y_0}}}{{x-{x_0}}}$，${K_{MB}}=\frac{{y+{y_0}}}{{x+{x_0}}}$，所以${K_{MA}}•{K_{MB}}=\frac{{{y^2}-{y_0}^2}}{{{x^2}-{x_0}^2}}$，
因?yàn)辄c(diǎn)M，A在橢圓C上，所以$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ \frac{{{x_0}^2}}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$，
相減得$\frac{{{x^2}-{x_0}^2}}{4}+{y^2}-{y_0}^2=0$，整理得$\frac{{{y^2}-{y_0}^2}}{{{x^2}-{x_0}^2}}=-\frac{1}{4}$，即${K_{MA}}•{K_{MB}}=-\frac{1}{4}$，
所以K_MA•K_MB為定值，得證．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，橢圓方程的求法，平方差法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．