Question

7．如圖，在△ABC中，邊BC上的高所在的直線方程為x-3y+2=0，∠BAC的平分線所在的直線方程為y=0，若點B的坐標為（1，3）．
（1）求點A和點C的坐標；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}x-3y+2=0\\ y=0\end{array}\right.$，得頂點A． 利用直線AB的斜率計算公式可得k_AB，x軸是∠BAC的平分線，可得直線AC的斜率為-1，AC所在直線的方程．直線BC上的高所在直線的方程為x-3y+2=0，故直線BC的斜率為-3，可得直線BC方程為．
（2）利用兩點之間的距離公式可得|BC|，又直線BC的方程是3x+y-6=0，利用點到直線的距離公式可得：A到直線BC的距離d，即可得出△ABC的面積．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}x-3y+2=0\\ y=0\end{array}\right.$，得頂點A（-2，0）．                 …（2分）
又直線AB的斜率${k_{AB}}=\frac{3-0}{1-（-2）}=1$，x軸是∠BAC的平分線，
故直線AC的斜率為-1，AC所在直線的方程為y=-x-2①
直線BC上的高所在直線的方程為x-3y+2=0，故直線BC的斜率為-3，
直線BC方程為y-3=-3（x-1），即y=-3x+6．②…（4分）
聯(lián)立方程①②，得頂點C的坐標為（4，-6）．              …（6分）
（2）$|{BC}|=\sqrt{{{（{1-4}）}^2}+{{（{3+6}）}^2}}=3\sqrt{10}$，…（8分）
又直線BC的方程是3x+y-6=0，
所以A到直線BC的距離$d=\frac{{|{-6-6}|}}{{\sqrt{10}}}=\frac{12}{{\sqrt{10}}}=\frac{{6\sqrt{10}}}{5}$，…（10分）
所以△ABC的面積=$\frac{1}{2}|{BC}|•d=\frac{1}{2}×3\sqrt{10}×\frac{{6\sqrt{10}}}{5}=18$．…（12分）

點評 本題考查了直線方程、相互垂直的直線斜率之間的關系、兩點之間的距離公式、點到直線的距離公式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．