Question

【題目】如圖，多面體 ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且平面ABCD⊥平面DCE．AF∥DE，且AF＝DE＝2，BF＝2．

（1）求證：AC⊥BE；

（2）若點(diǎn)F到平面DCE的距離為，求直線(xiàn)EC與平面BDE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；

（2）.

【解析】

（1）由題意及勾股數(shù)可證得平面平面，再由面面垂直的性質(zhì)可證DE與平面ABCD垂直,可得AC⊥DE，再結(jié)合菱形中的垂直證得平面，從而得到結(jié)論；

（2）設(shè)，連接.由（1）平面，則是在平面內(nèi)的射影，可得與平面所成的角為.由點(diǎn)F到平面DCE的距離可得菱形中，，可求得OC，在中，可求得EC，則可得結(jié)果.

（1）∵，，

∴，

∴，即.

∵，，

∴.

∵平面平面，平面，平面平面，

∴平面，

∴AC⊥DE.①

∵四邊形為菱形，

∴. ②

由①②，且，

∴平面.

∴.

（2）設(shè)，連接.

由（1）平面，∴是在平面內(nèi)的射影，

∴與平面所成的角為.

∵，平面，平面，

∴平面，

∴點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離.

在平面內(nèi)作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于.

∵平面平面，

∴平面，

∴.（或轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離）

∵，∴，

∴菱形中，，

∴.

在中，，

∴.

∴與平面所成角的正弦值為.