【題目】如圖，，是離心率為的橢圓的左、右頂點(diǎn)，，是該橢圓的左、右焦點(diǎn)，，是直線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接和，它們分別與橢圓交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，且線段恰好過橢圓的左焦點(diǎn).當(dāng)時(shí)，點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（Ⅱ）判斷以為直徑的圓與直線位置關(guān)系，并加以證明.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）以為直徑的圓始終與直線相切

【解析】

（Ⅰ）由當(dāng)時(shí)，點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)，得到，再由，即可求出，得到橢圓方程；

（Ⅱ）先由題意可知直線不可能平行于軸，設(shè)的方程為：，、，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理、弦長公式等，結(jié)合題中條件，即可得出結(jié)論.

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)，

，又，聯(lián)立解得：，，，

橢圓的方程為.

（Ⅱ）由題意可知直線不可能平行于軸，

設(shè)的方程為：，、，

聯(lián)立得： ，

，

（*）

又設(shè)，由、、三點(diǎn)共線得，

同理可得.

.

設(shè)中點(diǎn)為，則坐標(biāo)為即，

點(diǎn)到直線的距離.

故以為直徑的圓始終與直線相切.

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