Question

2．正△ABC的邊長(zhǎng)為4，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．
（1）試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）求三棱錐E-AFD的體積；
（3）求四面體ABCD外接球的表面積．

Answer 1

分析 （1）由中位線定理得AB∥EF，故而AB∥平面DEF；
（2）由直二面角可得BD⊥平面ACD，于是V_E-AFD=V_F-ADE=$\frac{1}{3}{S}_{△ADE}•\frac{1}{2}BD$；
（3）根據(jù)三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直的性質(zhì)可求得外接球的半徑，從而計(jì)算出球的表面積．

解答 解：（1）∵E、F分別是AC和BC邊的中點(diǎn)，
∴EF∥AB，又EF?平面DEF，AB?平面DEF，
∴AB∥平面DEF．
（2）∵CD是正三角形ABC的高，∴AD=BD=2，CD=2$\sqrt{3}$，
∵二面角A-DC-B是直二面角，
∴BD⊥平面ACD．
∵E，F(xiàn)是AC，BC的中點(diǎn)，
∴S_△ADE=$\frac{1}{2}$S_△ACD=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
F到平面ACD的距離等于$\frac{1}{2}BD$=1．
∴V_E-AFD=V_F-ADE=$\frac{1}{3}{S}_{△ADE}•\frac{1}{2}BD$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（3）設(shè)外接球的球心為O，
∵△BCD是直角三角形，∴O在底面BCD上的投影為BC的中點(diǎn)F，連結(jié)OF，
則OF⊥平面BCD，又AD⊥平面BCD，
∴AD∥OF，
∵球O是三棱錐A-BCD的外接球，
∴OF=$\frac{1}{2}$AD=1．
∴球O的半徑OB=$\sqrt{B{F}^{2}+O{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∴球O的表面積S=4πOB²=20π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定，棱錐的體積計(jì)算，棱錐與外接球的關(guān)系，屬于中檔題．