Question

5．已知橢圓Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），過原點(diǎn)的兩條直線l₁和l₂分別與C交于點(diǎn)A、B和C、D，得到平行四邊形ACBD．
（1）若a=4，b=3，且ACBD為正方形時(shí)，求該正方形的面積S；
（2）若直線l₁的方程為bx-ay=0，l₁和l₂關(guān)于y軸對(duì)稱，Γ上任意一點(diǎn)P到l₁和l₂的距離分別為d₁和d₂，證明：d₁²+d₂²=$\frac{2{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$；
（3）當(dāng)ACBD為菱形，且圓x²+y²=1內(nèi)切于菱形ACBD時(shí)，求a，b滿足的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）由題意，直線l₁和l₂的方程為y=x和y=-x，利用$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，可得x₁²=x₂²=$\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，根據(jù)對(duì)稱性，求出正方形的面積；
（2）利用距離公式，結(jié)合d₁²+d₂²為定值，即可證明結(jié)論；
（3）設(shè)出切線AC的方程與橢圓方程聯(lián)立，分類討論，即可求a，b滿足的關(guān)系式．

解答 解：（1）由題意，直線l₁和l₂的方程為y=x和y=-x，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）為方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$的解，可得x₁²=x₂²=$\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，
根據(jù)對(duì)稱性，正方形的面積S=4x₁²=$\frac{4{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$；
（2）設(shè)l₁的方程為y=kx（k≠0），l₂的方程為y=-kx，
設(shè)P（x₀，y₀），d₁²+d₂²=$\frac{（k{x}_{0}-{y}_{0}）^{2}}{{k}^{2}+1}$+$\frac{（k{x}_{0}+{y}_{0}）^{2}}{{k}^{2}+1}$=$\frac{2（{k}^{2}-\frac{^{2}}{{a}^{2}}）{{x}_{0}}^{2}+2^{2}}{{k}^{2}+1}$為定值，∴k=±$\frac{a}$，
∴d₁²+d₂²=$\frac{2{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$；
（3）設(shè)AC與圓x²+y²=1相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），于是切線AC的方程為x₀x+y₀y=1
A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）為x₀x+y₀y=1與橢圓聯(lián)立的方程（b²y₀²+a²x₀²）x²-2x₀a²x+a²（1-b²y₀²）=0的解，
①x₀=0或y₀=0時(shí)，ACBD為正方形，橢圓過點(diǎn)（1，1），∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1；
②x₀≠0且y₀≠0時(shí)，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}（1-^{2}{{y}_{0}}^{2}）}{^{2}{{y}_{0}}^{2}+{a}^{2}{{x}_{0}}^{2}}$，
同理y₁y₂=$\frac{^{2}（1-{a}^{2}{{x}_{0}}^{2}）}{^{2}{{y}_{0}}^{2}+{a}^{2}{{x}_{0}}^{2}}$，
∵ACBD為菱形，∴AO⊥CO，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴$\frac{{a}^{2}（1-^{2}{{y}_{0}}^{2}）}{^{2}{{y}_{0}}^{2}+{a}^{2}{{x}_{0}}^{2}}$+$\frac{^{2}（1-{a}^{2}{{x}_{0}}^{2}）}{^{2}{{y}_{0}}^{2}+{a}^{2}{{x}_{0}}^{2}}$=0，
∵x₀²+y₀²=1，∴a²+b²=a²b²，∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1．
綜上所述，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．