Question

15．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面為正三角形，E、F分別是BC、CC₁的中點
（1）證明：平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
（2）若D為AB中點，∠CA₁D=45°且AB=2，設三棱錐F-AEC的體積為V₁，三棱錐F-AEC與三棱錐A₁-ACD的公共部分的體積為V₂，求$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由AE⊥BC，AE⊥BB₁得出AE⊥平面B₁BCC₁，故而平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
（2）由CD⊥A₁D可得A₁D=CD=$\sqrt{3}$，從而得出AA₁=$\sqrt{2}$，于是V₁=V_F-AEC=$\frac{1}{3}{S}_{△AEC}•FC$，設AE，CD的交點為O，AF，A₁C的交點為G，過G作GH⊥AC于H，則由△A₁GA∽△CGF得出GH，從而V₂=V_G-AOC=$\frac{1}{3}{S}_{△AOC}•GH$．

解答 證明：（1）∵BB₁⊥平面ABC，AE?平面ABC，
∴AE⊥BB₁，
∵△ABC是等邊三角形，E是BC的中點，
∴AE⊥BC，
又BC?平面B₁BCC₁，BB₁?平面B₁BCC₁，BC∩BB₁=B，
∴AE⊥平面B₁BCC₁，
又AE?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面B₁BCC₁．
（2）由（1）得AE⊥平面B₁BCC₁，
同理可得：CD⊥平面AA₁B₁B，
∴CD⊥A₁D，
∵AB=2，∴AD=1，CD=$\sqrt{3}$，
∵∠CA₁D=45°，∴A₁D=CD=$\sqrt{3}$，
∴AA₁=$\sqrt{{A}_{1}{D}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴FC=$\frac{1}{2}A{A}_{1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴V₁=V_F-AEC=$\frac{1}{3}{S}_{△AEC}•FC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{12}$．
設AE，CD的交點為O，AF，A₁C的交點為G，過G作GH⊥AC于H，
∵△A₁GA∽△CGF，
∴$\frac{CG}{{A}_{1}G}=\frac{CF}{A{A}_{1}}=\frac{1}{2}$，
∴GH=$\frac{1}{3}A{A}_{1}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∵OD=$\frac{1}{2}$OC，
∴S_△AOC=$\frac{2}{3}$S_△ACD=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴V₂=V_G-AOC=$\frac{1}{3}{S}_{△AOC}•GH$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{2}}{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{27}$．
∴$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=$\frac{27}{12}$=$\frac{9}{4}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質，棱錐的體積計算，屬于中檔題．