Question

如圖，點P（4，4）是曲線y=2

x

上的一點．過線段OP的中點M₁作x軸的垂線交曲線于點P₁，再過線段P₁P的中點M₂作x軸的垂線交曲線于點P₂，…，以此類推，過線段P_n-1P的中點M_n作x軸的垂線交曲線于點P_n（P₀為原點O，n=1，2，3，…）．設(shè)點F（1，0），直線FM_n關(guān)于直線P_n-1P的對稱直線為l_n（n=1，2，3，…），記直線P_n-1P、l_n的斜率分別為k pn-1p、k ln．若λ≤k pn-1p+k ln對任意n∈N^*恒成立，則實數(shù)λ取值范圍是（　　）

• A、（-∞，

  3

  2

  ]
• B、（-∞，1]
• C、（-∞，

  1

  2

  ]
• D、（-∞，0]

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：求出曲線y=2

x

在P點的切線的斜率，由題意可知k pn-1p大于

1

2

且無限接近于

1

2

，kln大于0且無限趨近于0，則k pn-1p+k ln無限趨近于

1

2

，又λ≤k pn-1p+k ln對任意n∈N^*恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍可求．

解答：解：由y=2

x

，得y′=x-

1

2

，
∴y′|x=4=

1

2

．
隨著n的增大，kPn-1P、kln均遞減，且當(dāng)點P_n無限趨近于點P時，
kPn-1P無限趨近于點P處的切線l的斜率

1

2

，
又直線FP的方程為

y-0

4-0

=

x-1

4-1

，即4x-3y-4=0．
切線l的方程為y-4=

1

2

（x-4），即x-2y+4=0．
則直線FP關(guān)于切線l的對稱直線為y=4，
即kln無限趨近于0，
∴k pn-1p+k ln無限趨近于

1

2

．
∵λ≤k pn-1p+k ln對任意n∈N^*恒成立，
∴實數(shù)λ取值范圍是（-∞，

1

2

]．
故選：C．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，體現(xiàn)了極限思想方法在解題中的運用，是中檔題．