Question

已知f（x）=ax²+2x-2-a（a≤0）
（1）求函數(shù)在區(qū)間（0，1]上的零點；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]的最大值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的零點

專題：分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）分類討論當a=0時，a＜0時，函數(shù)的零點是什么，求出即可；
（2）討論a=0時，a＜0時，f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值是什么，求出即可．

解答： 解：（1）①當a=0時，f（x）=2x-2=0，解得x=1；
②當a＜0，f（x）=ax²+2x-2-a=（x-1）（ax+2+a）=0，
解得x=1，或x=-

a+2

a

=-1-

2

a

；
令0＜-1-

2

a

≤1，即1＜-

2

a

≤2，
∴-1＞

2

a

≥-2，解得-2＜a≤-1；
綜上，-1≤a≤0時，f（x）的零點是1，
-2＜a＜-1時，f（x）的零點是1，-1-

2

a

，
a≤-2時，∴f（x）的零點是1；
（2）∵f（x）=ax²+2x-2-a（a≤0）
∴①當a=0時，f（x）=2x-2在區(qū)間[0，1]上是增函數(shù)，最大值是f（1）=0；
②當a＜0時，f（x）=ax²+2x-2-a的圖象是拋物線，且開口向下，對稱軸是x=-

2

2a

=-

1

a

＞0，
若-

1

a

＜

1

2

，即a＜-2，f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值是f（0）=-2-a；
若-

1

a

=

1

2

，即a=-2，f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值是f（0）=f（1）=0；
若-

1

a

＞

1

2

，即a＞-2，f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值是f（1）=a+2-2-a=0；
綜上，0≥a≥-2時，f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值是0，a＜-2時，f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值是-2-a．

點評：本題考查了分類討論思想的應用問題，也考查了求函數(shù)零點的問題，求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的問題，是易錯題目．