Question

4．已知圓C的圓心位于第二象限且在直線(xiàn)y=2x+1上，若圓C與兩個(gè)坐標(biāo)軸都相切，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為${（x+\frac{1}{3}）^2}+{（y-\frac{1}{3}）^2}=\frac{1}{9}$．

Answer 1

分析 由已知得x=y或x=-y，圓心在y=2x+1上，又圓心位于第二象限，從而得到圓心坐標(biāo)為：（-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$），再由半徑就是圓心到切線(xiàn)距離，能求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：∵與坐標(biāo)軸相切，∴圓心到兩個(gè)坐標(biāo)軸距離相等，∴x=y或x=-y，
又圓心在y=2x+1上，
若x=y，則x=y=-1；若x=-y，則x=-$\frac{1}{3}$，y=$\frac{1}{3}$，
所以圓心是（-1，-1）或（-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$），
∵圓心位于第二象限，
∴圓心坐標(biāo)為：（-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$），
∵半徑就是圓心到切線(xiàn)距離，即到坐標(biāo)軸距離．
∴r=$\frac{1}{3}$，
∴所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：${（x+\frac{1}{3}）^2}+{（y-\frac{1}{3}）^2}=\frac{1}{9}$．
故答案為：${（x+\frac{1}{3}）^2}+{（y-\frac{1}{3}）^2}=\frac{1}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．