Question

19．（1）求函數(shù)f（x）=cosx（x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3}{2}$π]）的值域；
（2）設f（x）=sin（cosx）（0≤x≤π），求[f（x）]_max和[f（x）]_min．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)余弦函數(shù)的圖象和性質先分析函數(shù)的單調性，進而求出函數(shù)在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3}{2}$π]時的最值，進而可得函數(shù)f（x）=cosx，x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3}{2}$π]的值域；
（2）由0≤x≤π，得t=cosx∈[-1，1]，結合y=sint，t∈[-1，1]為增函數(shù)，可得答案．

解答 解（1）∵函數(shù)f（x）=cosx，x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3}{2}$π]，
∴函數(shù)f（x）在[$\frac{π}{4}$，π]上為減函數(shù)，在[π，$\frac{3}{2}$π]上為增函數(shù)，
∴當x=π時，函數(shù)f（x）取最小值-1，x=$\frac{π}{4}$時，函數(shù)f（x）取最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故函數(shù)f（x）=cosx，x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3}{2}$π]的值域為[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]；
（2）∵0≤x≤π，故t=cosx∈[-1，1]，
又∵y=sint，t∈[-1，1]為增函數(shù)，
故當t=-1時，[f（x）]_min=sin（-1）=-sin1，
故當t=1時，[f（x）]_max=sin1．

點評 本題考查的知識點是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象和性質，熟練掌握余弦函數(shù)的圖象和性質，是解答的關鍵．