Question

13．若函數(shù)f（x）的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱(chēng)y=f（x）具有T性質(zhì)．寫(xiě)出下列函數(shù)中，所有具有T性質(zhì)的函數(shù)序號(hào)是①．
①y=sinx   ②y=lnx  ③y=e^x          ④y=x³．

Answer 1

分析 若函數(shù)y=f（x）的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)上存在兩點(diǎn)，使這點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值乘積為-1，對(duì)選項(xiàng)一一分析，求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)的范圍，即可得到答案．

解答 解：函數(shù)y=f（x）的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，
則函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)上存在兩點(diǎn)，使這點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值乘積為-1，
當(dāng)y=sinx時(shí)，y′=cosx∈[-1，1]，滿(mǎn)足條件；
當(dāng)y=lnx時(shí)，y′=$\frac{1}{x}$＞0恒成立，不滿(mǎn)足條件；
當(dāng)y=e^x時(shí)，y′=e^x＞0恒成立，不滿(mǎn)足條件；
當(dāng)y=x³時(shí)，y′=3x²＞0恒成立，不滿(mǎn)足條件．
故答案為：①．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，注意轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值之積為-1，難度中檔．