11.已知F1,F(xiàn)2為橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),M為橢圓C的上頂點(diǎn),且|MF1|=2,右焦點(diǎn)與右頂點(diǎn)的距離為1.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),且直線OA,OB的斜率kOA,kOB滿足kOA•kOB=-$\frac{3}{4}$,求△AOB的面積.

分析 (1)由橢圓的性質(zhì),|MF1|=2,即a=2,a-c=1,即可求得c=1,b2=3,即可求得橢圓的方程;
(2)當(dāng)直線l斜率不存在時,kOA•kOB=-$\frac{3}{4}$,求得A和B點(diǎn)坐標(biāo),利用三角形面積公式,即可求得△AOB的面積,當(dāng)直線l的斜率存在,設(shè)出直線l的方程,將直線l的方程代入橢圓方程,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,根據(jù)韋達(dá)定理求得x1+x2和x1•x2,根據(jù)斜率公式求得表示出kOA•kOB,由點(diǎn)到直線距離公式及三角形面積公式,即可求得△AOB的面積,綜上即可求得△AOB的面積.

解答 解:(1)由題意得,a=2,a-c=1,得c=1,a2=b2+c2,
∴b2=3,
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$,…(3分)
(2)①當(dāng)直線l的斜率不存在時,設(shè)l:x=n,不妨取A(n,$\sqrt{3(1-\frac{{n}^{2}}{4})}$),B(n,-$\sqrt{3(1-\frac{{n}^{2}}{4})}$),
由kOA•kOB=-$\frac{3}{4}$,解得n2=2.
此時,S△AOB=$\frac{1}{2}$丨AB丨•丨n丨=$\sqrt{3}$,…(5分)
②當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)l:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$,消去y化簡得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
由韋達(dá)定理可知x1+x2=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$,x1•x2=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$,△>0得4k2-m2+3>0…(7分)
kOA•kOB=-$\frac{3}{4}$,$\frac{{y}_{1}y2}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{3}{4}$,即:3x1•x2+4y1•y2=0,
即:3x1•x2+4(kx1+m)(kx2+m)=0,
即:(3+4k2)x1•x2+4km(x1+m2)+4m2=0,
化簡整理得:3+4k2=2m2,…(9分)
由弦長公式得:丨AB丨=$\sqrt{(1+{k}^{2})}$•$\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$,
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{48(4{k}^{2}-{m}^{2}+3)}{(3+4{k}^{2})^{2}}}$,
O到直線y=kx+m的距離d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$,則:
S△AOB=$\frac{1}{2}$丨AB丨•d=$\sqrt{\frac{12(4{k}^{2}+3-{m}^{2})}{(3+4{k}^{2})^{2}}}$丨m丨,
=$\sqrt{\frac{12(2{m}^{2}-{m}^{2})}{(2{m}^{2})^{2}}}$•丨m丨,
=$\sqrt{3}$.  …(11分)
綜上所述,S△AOB=$\sqrt{3}$.    …(12分)

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系,該題思路清晰,運(yùn)算復(fù)雜,考查了學(xué)生的運(yùn)算能力.屬難題.

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