Question

19．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，a_n+1+2a_n-1=3a_n（n≥2）．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{a_n+1-a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）設(shè)b_n=a_n-1，S_n=$\frac{{a}_{1}}{_{1}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{_{n}_{n+1}}$，若?n∈N^*，使S_n≥4m²-3m成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由a_n+1+2a_n-1=3a_n（n≥2），變形為a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1），a₂-a₁=2，利用等比數(shù)列的定義即可證明．
（II）由（I）可得：a_n+1-a_n=2ⁿ，利用“累加求和”方法、等比數(shù)列的求和公式即可得出．
（III）b_n=a_n-1=2ⁿ-1，可得$\frac{{a}_{n}}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．利用“裂項求和”方法可得S_n，再利用數(shù)列的單調(diào)性、不等式的解法即可得出．

解答 （I）證明：∵a_n+1+2a_n-1=3a_n（n≥2），∴a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1），a₂-a₁=2，
∴數(shù)列{a_n+1-a_n}是等比數(shù)列，首項為2，公比為2．
（II）解：由（I）可得：a_n+1-a_n=2ⁿ，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+…+2+2
=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$+1=2ⁿ．
（III）解：b_n=a_n-1=2ⁿ-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．
∴S_n=$\frac{{a}_{1}}{_{1}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{_{n}_{n+1}}$=$（1-\frac{1}{{2}^{2}-1}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
若?n∈N^*，使S_n≥4m²-3m成立，
∴1＞4m²-3m，解得：$-\frac{1}{4}$＜m＜1．
∴實數(shù)m的取值范圍是$（-\frac{1}{4}，1）$．

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的定義及其通項公式、“裂項求和”方法、“累加求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．