Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，向量

AB

=（S_n，p²-a），

CD

=（1，p-1）（n∈N^*），滿足

AB

∥

CD

．（其中p為正常數(shù)，且p≠1）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若p=

8

7

，數(shù)列{b_n}對任意n∈N^*，都有b₁a_n+b₂a_n-1+b₃a_n-2+…+b_na₁=（n²-n+1）•(

8

7

)n+1成立，問數(shù)列{b_n}中是否存在最大項？若存在，最大項是第幾項；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）首先利用向量的坐標(biāo)運算和向量共線的充要條件，建立等量關(guān)系，進一步利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項公式．
（2）利用關(guān)系式，使用乘公比錯位相減法求出數(shù)列的通項公式，進一步討論數(shù)列的增減性，最后確定是否存在最大項．

解答： 解：（1）已知：已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，向量

AB

=（S_n，p²-a_n），

CD

=（1，p-1）（n∈N^*），滿足

AB

∥

CD

．（其中p為正常數(shù)，且p≠1）
則：(p-1)Sn=p2-an①
所以：(p-1)Sn+1=p2-an+1②
②-①整理得：

an+1

an

=

1

p

所以：數(shù)列為等比數(shù)列
當(dāng)n=1時，求得：a₁=p
所以：an=p(

1

p

)n-1=(

1

p

)n-2
（2）若p=

8

7

，數(shù)列{b_n}對任意n≥2，都有b₁a_n+b₂a_n-1+b₃a_n-2+…+b_na₁=（n²-n+1）•(

8

7

)n+1①成立，
則：b₁a_n-1+b₂a_n-2+…+b_n-1a₁=[(n-1)2-(n-1)+1](

8

7

)n②
②×

7

8

得：b₁a_n+b₂a_n-1+…+b_n-1a₂=[(n-1)2-(n-1)+1](

8

7

)n+1③
所以①-③得：b_na₁=(2n-2)(

8

7

)n+1
bn=(2n-2)(

8

7

)n
當(dāng)n=1時，a₁b₁=(

8

7

)2
由于：a1=p=

8

7

所以：b1=

8

7

所以：b_n=

8 7 (n=1) (2n-2)( 8 7 )n(n≥2)

根據(jù)通項公式：數(shù)列{b_n}為遞增數(shù)列，所以不存在最大項．

點評：本題考查的知識要點：向量的坐標(biāo)運算，向量共線的充要條件，利用遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式，錯位相減法的應(yīng)用．屬于中等題型．