Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²+lnx-ax．
（1）當(dāng)a=3時(shí)，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，求a得取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求單調(diào)增區(qū)間，先求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大于等于0即可；
（2）已知f（x）在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)，即f′（x）≥0在區(qū)間（0，1）上恒成立，然后用分離參數(shù)求最值即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=x²+lnx-3x；
∴f′（x）=2x+$\frac{1}{x}$-3，由f′（x）＞0得，0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞1，
故所求f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，$\frac{1}{2}$），（1，+∞）；
（2）f′（x）=2x+$\frac{1}{x}$-a，
∵f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，
∴2x+$\frac{1}{x}$-a＞0在（0，1）上恒成立，即a＜2x+$\frac{1}{x}$恒成立，
∵2x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{2}$（當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)取等號）
所以a＜2$\sqrt{2}$，
當(dāng)a=2$\sqrt{2}$時(shí)，易知f（x）在（0，1）上也是增函數(shù)，
所以a≤2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題，體現(xiàn)了分類討論和轉(zhuǎn)化的思想方法，考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力．