Question

19．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，E，F(xiàn)分別為PA，BD的中點(diǎn)，PA=PD=AD=2．
（1）證明：EF∥平面PBC；
（2）若$PB=\sqrt{6}$，求二面角E-DF-A的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連接AC，推導(dǎo)出EF∥PC，由此能證明EF∥平面PBC．
（2）取AD中點(diǎn)O，連接OB，OP，分別以O(shè)A，OB，OP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法能求出二面角E-DF-A的正弦值．

解答 證明：（1）連接AC，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，F(xiàn)為BD中點(diǎn)，所以F為AC中點(diǎn)．
又因?yàn)镋為PA中點(diǎn)，所以EF∥PC，
又EF?平面PBC，PC?平面PBC，
所以EF∥平面PBC． …（5分）
解：（2）取AD中點(diǎn)O，連接OB，OP，
因?yàn)镻A=PD，所以PO⊥AD，
因?yàn)榱庑蜛BCD中，AB=AD，∠BAD=60°，所以△ABD是等邊三角形，所以BO⊥AD，
由已知$BO=\sqrt{3}，PO=\sqrt{3}$，若$PB=\sqrt{6}$，由BO²+PO²=PB²得PO⊥BO．
如圖，分別以O(shè)A，OB，OP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
由題意得A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），D（-1，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），E（$\frac{1}{2}，0，\frac{\sqrt{3}}{2}$），F(xiàn)（-$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{3}{2}，0，\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{DF}$=（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），設(shè)平面DEF的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=\frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}，1，3$），
又因?yàn)槠矫鍭BD的法向量$\overrightarrow{OP}=（0，0，\sqrt{3}）$，
所以cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{OP}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{OP}|}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$，故sin＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{OP}$＞=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$，
即二面角E-DF-A的正弦值為$\frac{2\sqrt{13}}{13}$． …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間位置關(guān)系的判斷與證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，是中檔題．