Question

13．已知曲線C的方程是：x²+y²-2x-4y+m=0，點P（3，-1）．
（1）若m=1，直線l過點P且與曲線C只有一個公共點，求直線l的方程；
（2）若曲線C表示圓且被直線x+2y+5=0截得的弦長為2$\sqrt{5}$，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）m=1時，曲線C表示圓，直線l過點P且與曲線C只有一個公共點，即直線l與圓相切，
①當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為：x=3．
②當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為：y=k（x-3）-1．由圓心到直線距離等于半徑求得k．
（2）曲線C的方程配方得：（x-1）²+（y-2）²=5-m，若方程表示圓則m＜5．
根據(jù)圓的弦長公式2$\sqrt{{r}^{2}-31tvaen^{2}}=2\sqrt{5}$，⇒m的值．

解答 解：（1）m=1時，曲線C的方程是：（x-1）²+（y-2）²=4，
表示圓心為（1，2），半徑為2的圓，
∵直線l過點P且與曲線C只有一個公共點，∴直線l與圓相切．
①當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為：x=3．
②當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為：y=k（x-3）-1．即kx-y-3k-1=0．
$\frac{|k-2-3k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=2$⇒k=-$\frac{5}{12}$，直線l的方程為：5x+12y-3=0．
綜上所述所求直線l的方程為：x=3，5x+12y-3=0．
（2）曲線C的方程配方得：（x-1）²+（y-2）²=5-m，若方程表示圓則5-m＞0⇒m＜5．
圓心到直線x+2y+5=0距離d=$\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$，
根據(jù)圓的弦長公式2$\sqrt{{r}^{2}-s3ryckr^{2}}=2\sqrt{5}$，⇒2$\sqrt{5-m-20}=2\sqrt{5}$，⇒m=-20

點評 本題考查了圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系，弦長公式，屬于中檔題．