Question

9．已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足$\sqrt{3}$ccos（2016π-B）-bsin（2017π+C）=0．
（Ⅰ）求角B的大�。�
（Ⅱ）若點(diǎn)D在△ABC的外接圓上，且CD=5，△ACD的面積為5$\sqrt{3}$，求AC的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用誘導(dǎo)公式，正弦定理化簡已知等式可得$\sqrt{3}$sinCcosB+sinBsinC=0，由于sinC≠0，可求tanB=-$\sqrt{3}$，結(jié)合范圍0＜B＜π，可求B的值．
（Ⅱ）由點(diǎn)D在△ABC的外接圓上，可得D=π-B=$\frac{π}{3}$，或B=D=$\frac{2π}{3}$，利用三角形面積公式可求AD，進(jìn)而利用余弦定理即可解得AC的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）∵$\sqrt{3}$ccos（2016π-B）-bsin（2017π+C）=0，
∴$\sqrt{3}$ccosB+bsinC=0，由正弦定理可得：$\sqrt{3}$sinCcosB+sinBsinC=0，…3分
∵0＜C＜π，sinC≠0，
∴$\sqrt{3}$cosB+sinB=0，可得：tanB=-$\sqrt{3}$，
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{2π}{3}$…6分
（Ⅱ）∵由點(diǎn)D在△ABC的外接圓上，可得：D=π-B=$\frac{π}{3}$，或B=D=$\frac{2π}{3}$，…7分
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$CD•AD•sinD=$\frac{1}{2}×5×AD×\frac{\sqrt{3}}{2}$=5$\sqrt{3}$，解得：AD=4，
∵在△ACD中，由余弦定理，可得：AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cosD=21或61，
∴AC=$\sqrt{21}$或$\sqrt{61}$…12分

點(diǎn)評 本題主要考查了誘導(dǎo)公式，正弦定理，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．