Question

8．若函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x²+2x．
（1）寫出函數(shù)f（x）（x∈R）的解析式．
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+（4-2a）x+2（x∈[1，2]），求函數(shù)g（x）的最小值h（a）．
（3）若f（x）≤-2at+4對于任意的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)x＞0，則-x＜0，利用已知函數(shù)解析式和函數(shù)的奇偶性可得x＞0時(shí)的解析式，則答案可求；
（2）求出函數(shù)g（x），找出對稱軸方程，對a分類求得函數(shù)的最小值；
（3）把f（x）≤-2at+4對于任意的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，轉(zhuǎn)化為0≤-2at+4，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的不等式組得答案．

解答 解：（1）設(shè)x＞0，則-x＜0，
又函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（x）=f（-x）=（-x）²-2x=x²-2x．
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2x，x＞0\\{x^2}+2x，x≤0.\end{array}\right.$；
（2）g（x）=f（x）+（4-2a）x+2=x²+2x-2ax+2（1≤x≤2），對稱軸方程為：x=a-1，
當(dāng)a-1≤1 時(shí)，g（1）=5-2a為最��；
當(dāng)1＜a-1≤2時(shí)，g（a-1）=-a²+2a+1為最��；
當(dāng)a-1＞2時(shí)，g（2）=10-4a為最�。�
綜上：h（a）=$\left\{\begin{array}{l}{5-2a，a≤2}\\{-{a}^{2}+2a+1，2＜a≤3}\\{10-4a，a＞3}\end{array}\right.$；
（3）f（x）≤-2at+4對于任意的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
即0≤-2at+4，也就是2ta-4≤0，a∈[-1，1]恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2t-4≤0}\\{2t-4≤0}\end{array}\right.$，解得：-2≤t≤2．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了恒成立問題的求解方法，是中檔題．