Question

17．已知函數f（x）=x+$\frac{1}{e^x}$．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若直線y=kx與曲線y=f（x）沒有公共點，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間即可；
（Ⅱ）問題等價于關于x的方程kx=x+$\frac{1}{{e}^{x}}$在R上沒有實數解，即關于x的方程：（k-1）x=$\frac{1}{{e}^{x}}$（*）在R上沒有實數解．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x+$\frac{1}{e^x}$．f′（x）=1-$\frac{1}{{e}^{x}}$=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，
∴f（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增；
（Ⅱ）直線y=kx與曲線y=f（x）沒有公共點，
等價于關于x的方程kx=x+$\frac{1}{{e}^{x}}$在R上沒有實數解，
即關于x的方程：（k-1）x=$\frac{1}{{e}^{x}}$（*）在R上沒有實數解；
①當k=1時，方程（*）可化為$\frac{1}{{e}^{x}}$=0，在R上沒有實數解；
②當k≠1時，方程（*）化為$\frac{1}{k-1}$=xex，
令g（x）=xe^x，則有g′（x）=（1+x）e^x，
令g'（x）=0，得x=-1，
當x=-1時，g（x）_min=-$\frac{1}{e}$，
同時當x趨于+∞時，g（x）趨于+∞，
從而g（x）的取值范圍為[-$\frac{1}{e}$，+∞），
所以當$\frac{1}{k-1}$∈（-∞，-$\frac{1}{e}$）時，方程（*）無實數解，
解得k的取值范圍是（1-e，1），
綜上，解得k的取值范圍是（1-e，1]．

點評 本題是難題，考查函數導數在解決切線方程，函數的極值與最值的應用，注意轉化思想的應用，是難度較大的題目，常考題型．