Question

6．已知四棱錐P-ABCD，它的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，其俯視圖如圖所示，側(cè)視圖為直角三角形，則該四棱錐的側(cè)面中直角三角形的個(gè)數(shù)有3個(gè)，該四棱錐的體積為$\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 由俯視圖判斷出PO⊥平面ABCD，由線面垂直的定義、判定定理判斷出側(cè)面中直角三角形的個(gè)數(shù)，由條件求出四棱錐的高，代入椎體的體積公式求出該四棱錐的體積．

解答 解：由俯視圖可得，PO⊥平面ABCD，
∴PO⊥AB，
∵AB⊥BC，且PO∩BC=O，
∴AB⊥PB，
同理可證，CD⊥PC，則△PAB、△PDC是直角三角形，
∵側(cè)視圖為直角三角形，
∴△PBC是直角三角形，且PC⊥PB，
∴四棱錐的側(cè)面中直角三角形的個(gè)數(shù)是3，
在△PBC中，
∵PC⊥PB，PO⊥BC，O是BC的中點(diǎn)，BC=2，
∴PO=$\frac{1}{2}$BC=1，
∴該四棱錐的體積V=$\frac{1}{3}×2×2×1$=$\frac{4}{3}$，
故答案為：3；$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的三視圖，線面垂直的定義、判定定理，屬于基礎(chǔ)題．