Question

17．已知函數(shù)g（x）=a-x²（$\frac{1}{e}$≤x≤e）（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）與h（x）=2lnx的圖象上存在關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的最大值與最小值之和為（　　）

• A． 0
• B． $\frac{1}{{e}^{2}}$+3
• C． e²-1
• D． e²+$\frac{1}{{e}^{2}}$

Answer 1

分析 由已知，得到方程a-x²=-2lnx?-a=2lnx-x²在$\frac{1}{e}$≤x≤e上有解，構(gòu)造函數(shù)f（x）=2lnx-x²，求出它的值域，得到-a的范圍即可得到最值的和．

解答 解：由已知，得到方程a-x²=-2lnx?-a=2lnx-x²在$\frac{1}{e}$≤x≤e上有解．
設(shè)f（x）=2lnx-x²，求導(dǎo)得：f′（x）=$\frac{2}{x}$-2x=$\frac{2（1-x）（1+x）}{x}$，
∵$\frac{1}{e}$≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的極值點(diǎn)，
∵f（$\frac{1}{e}$）=-2-$\frac{1}{{e}^{2}}$，f（e）=2-e²，
f（x）_極大值=f（1）=-1，且知f（e）＜f（$\frac{1}{e}$），
故方程-a=2lnx-x²在[$\frac{1}{e}$，e]上有解等價(jià)于2-e²≤-a≤-1．
從而a的取值范圍為[1，e²-2]．
即有a的最大值和最小值的和為e²-2+1=e²-1．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了構(gòu)造函數(shù)法求方程的解及參數(shù)范圍，關(guān)鍵是將已知轉(zhuǎn)化為方程a-x²=-2lnx?-a=2lnx-x²在[$\frac{1}{e}$，e]上有解．