Question

【題目】已知，函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；

（2）若關(guān)于的方程的解集中恰有兩個(gè)元素，求的取值范圍；

（3）設(shè)，若對(duì)任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的和不大于，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）當(dāng)a＝1時(shí)，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，直接解不等式f（x）1即可；

（2）化簡(jiǎn)關(guān)于x的方程f（x）+2x＝0，通過(guò)分離變量推出a的表達(dá)式，通過(guò)解集中恰有兩個(gè)元素，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求a的取值范圍；

（3）在R上單調(diào)遞減利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最值，∴令，化簡(jiǎn)不等式，轉(zhuǎn)化為求解不等式的最大值，然后求得a的范圍．

（1）當(dāng)時(shí)，，

∴，解得，

∴原不等式的解集為.

（2）方程，

即為，

∴，

∴，

令，則，

由題意得方程在上只有兩解，

令, ,

結(jié)合圖象可得，當(dāng)時(shí)，直線和函數(shù)的圖象只有兩個(gè)公共點(diǎn)，

即方程只有兩個(gè)解．

∴實(shí)數(shù)的范圍.

（3）∵函數(shù)在上單調(diào)遞減，

∴函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，

∴函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，

最小值為，

∴，

由題意得，

∴恒成立，

令，

∴對(duì)，恒成立，

∵在上單調(diào)遞增，

∴

∴，

解得，

又，

∴．

∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.