Question

6．已知f（x）=ax-$\frac{a}{x}$-10lnx，h（x）=-x²+（m-2）x+6．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在其定義域上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當a=4時，對于任意x₁，x₂∈（0，1），均有h（x₁）≥f（x₂）恒成立，試求參數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a≥$\frac{10x}{{x}^{2}+1}$，而$\frac{10x}{{x}^{2}+1}$≤5，從而求出a的范圍即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)h（x₁）≥f（x₂）恒成立，滿足h（x）_min≥f（x）_max，得到故m的不等式組，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）=$\frac{{ax}^{2}-10x+a}{{x}^{2}}$，
對于任意（0，+∞）上，滿足f′（x）≥0，即ax²-10x+a≥0，a≥$\frac{10x}{{x}^{2}+1}$，
而$\frac{10x}{{x}^{2}+1}$≤5，當且僅當x=1時，取最大值5，所以a≥5．
（Ⅱ）f（x）=4x-$\frac{4}{x}$-10lnx，
f′（x）=$\frac{2（2x-1）（x-2）}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，可得x₁=$\frac{1}{2}$或x₂=2，
所以函數(shù)f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{2}$，1）單調(diào)遞減，
所以f（x）_max=f（$\frac{1}{2}$）=-6+10ln2，
h（x₁）≥f（x₂）恒成立，滿足h（x）_min≥f（x）_max，
即$\left\{\begin{array}{l}{h（0）{≥f（x）}_{max}}\\{h（1）{≥f（x）}_{max}}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{6≥-6+10ln2}\\{-1+m-2+6≥-6+10ln2}\end{array}\right.$⇒m≥-9+10ln2，
所以m的取值范圍是[-9+10ln2，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．