Question

11．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S_n=2a_n-2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{log}_{2}a}_{n}}{{n}^{2}（n+2）}，n為奇數(shù)}\\{\frac{2n}{{a}_{n}}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，T_n為{b_n}的前n項(xiàng)和，求T_2n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，b_n=$\frac{n}{{n}^{2}（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，b_n=$\frac{2n}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．分別利用“裂項(xiàng)求和”、“錯(cuò)位相減法”即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=2a_n-2，∴n=1時(shí)，a₁=2a₁-2，解得a₁=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2），化為a_n=2a_n-1．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為2．
∴a_n=2ⁿ，b_n=$\frac{2n}{{2}^{n}}$
（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，b_n=$\frac{n}{{n}^{2}（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，b_n=$\frac{2n}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．
設(shè)數(shù)列{$\frac{1}{2}（\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}）$}的前k項(xiàng)和為A_k，則A_k=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2k+1}）$=$\frac{k}{2k+1}$．
設(shè)數(shù)列{$\frac{2k}{{2}^{2k-1}}$}的前k項(xiàng)和為B_k，
則B_k=$2（\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{3}}+\frac{3}{{2}^{5}}+…+\frac{k}{{2}^{2k-1}}）$，
$\frac{1}{4}{B}_{k}$=$2（\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{2}{{2}^{5}}+…+\frac{k-1}{{2}^{2k-1}}+\frac{k}{{2}^{2k+1}}）$，
∴$\frac{3}{4}{B}_{k}$=2$（\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{2k-1}}-\frac{k}{{2}^{2k+1}}）$=2$（\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{4}^{k}}）}{1-\frac{1}{4}}-\frac{k}{{2}^{2k+1}}）$，
∴B_k=$\frac{4}{3}$（$\frac{4}{3}$-$\frac{4+3k}{3×{4}^{k}}$）=$\frac{16}{9}$-$\frac{4+3k}{9×{4}^{k-1}}$．
∴T_2n=$\frac{n}{2n+1}$+$\frac{16}{9}$-$\frac{4+3n}{9×{4}^{n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”方法、“錯(cuò)位相減法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．