Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+\frac{4}{x}+m（x＞0）}\\{{2}^{x}+m（x≤0）}\end{array}\right.$，若方程f（x）=-2x有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為m≥-1或m=-8．

Answer 1

分析 由題意，x≤0時(shí)，f（x）≤1+m，x＞0時(shí)，f（x）＞4$\sqrt{2}$+m．根據(jù)方程f（x）=-2x有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，可得不等式，即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：由題意，x≤0時(shí)，m＜f（x）≤1+m，x＞0時(shí)，f（x）＞4$\sqrt{2}$+m（當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{2}$時(shí)，f（x）=4$\sqrt{2}$+m）．
x=$\sqrt{2}$時(shí)，-2x=-2$\sqrt{2}$．
∵方程f（x）=-2x有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴1+m≥0，且4$\sqrt{2}$+m≥-2$\sqrt{2}$，
∴m≥-1．
m=-8時(shí)方程f（x）=-2x有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
故答案為：m≥-1或m=-8．

點(diǎn)評 本題考查分段函數(shù)，考查函數(shù)值域，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．