Question

如圖，已知點P是正四面體A-BCD的棱AC中點，則直線DP與平面BCD所成角的正弦值為（　�。�

• A、

  2

  3

• B、

  7

  3

• C、

  2 2

  3

• D、

  1

  3

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：過A做BD的垂線，垂足為F，連接CF，過A做AO⊥BCD故P在平面BCD的投影也在CF上，設(shè)為O′，連接O′D，令正四面體的棱長為a，通過解三角形求出即可．

解答： 解：過A做BD的垂線，垂足為F，連接CF，易知CF⊥BD，故平面AFC⊥BCD，
過A做AO⊥BCD，O應為BCD的中心，在CF上，因此AC投影在CF上．
故P在平面BCD的投影也在CF上，設(shè)為O′，連接O′D，知O′D⊥PO′，
如圖示：
，
因PO′∥AO，故

PO′

AO

=

CP

CA

=

1

2

，
令正四面體的棱長為a
AF=DP=

3 a

2

，F(xiàn)O═

3 a

6

，AO=

6 a

3

，
∴PO′=

6 a

6

，∴sin∠PDO′=

PO′

PD

=

2

3

，
故選：A．

點評：本題考查了直線和平面所成角的問題，考查解三角形問題，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．