Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{3x}{a}$-2x²+lnx（a∈R且a≠0）
（1）當(dāng)a=3時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)遞增或遞減函數(shù)，即f′（x）≥（≤）0在區(qū)間[1，2]上恒成立，然后用分離參數(shù)求最值即可．

解答 解：（1）a=3時，f（x）=x-2x²+lnx，（x＞0），
f′（x）=1-4x+$\frac{1}{x}$=$\frac{-{4x}^{2}+x+1}{x}$，
令g（x）=-4x²+x+1，（x＞0），
由g（x）=0，解得：x=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，
∴f（x）在（0，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$）遞減，在（$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，+∞）遞增；
（2）f′（x）=$\frac{3}{a}$-4x+$\frac{1}{x}$，
若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)增函數(shù)，
則x∈[1，2]時，f′（x）≥0恒成立．
即 $\frac{3}{a}$≥4x-$\frac{1}{x}$在[1，2]恒成立，
令h（x）=4x-$\frac{1}{x}$，因函數(shù)h（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
所以$\frac{3}{a}$≥h（2），即$\frac{3}{a}$≥$\frac{15}{2}$，
解得0＜a≤$\frac{2}{5}$①
若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)減函數(shù)，
則x∈[1，2]時，f′（x）≤0恒成立．
即$\frac{3}{a}$≤4x-$\frac{1}{x}$在[1，2]恒成立，
令h（x）=4x-$\frac{1}{x}$，因函數(shù)h（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
所以$\frac{3}{a}$≤h（1），即$\frac{3}{a}$≤3，
解得a≥1或a＜0．②
綜上可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥1或a≤$\frac{2}{5}$且a≠0．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍，此類問題一般用導(dǎo)數(shù)解決，注意運(yùn)用恒成立思想，綜合性較強(qiáng)．