Question

13．設函數(shù)f′（x）是偶函數(shù)f（x）（x∈R）的導函數(shù)，f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的唯一零點為2，并且當x∈（-1，1）時，xf′（x）+f（x）＜0．則使得f（x）＜0成立的x的取值范圍是（　�。�

• A． （-2，0）∪（0，2）
• B． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• C． （-1，1）
• D． （-2，2）

Answer 1

分析 令g（x）=xf（x），判斷出g（x）是R上的奇函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及奇偶性求出f（x）＜0的解集即可．

解答 解：令g（x）=xf（x），g′（x）=xf′（x）+f（x），
當x∈（-1，1）時，xf′（x）+f（x）＜0，
∴g（x）在（-1，1）遞減，
而g（-x）=-xf（-x）=-xf（x）=-g（x），
∴g（x）在R是奇函數(shù)，
∵f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的唯一零點為2，
即g（x）在區(qū)間（0，+∞）上的唯一零點為2，
∴g（x）在（-∞，-1）遞增，在（-1，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
g（0）=0，g（2）=0，g（-2）=0，
如圖示：，
x≥0時，f（x）＜0，即xf（x）＜0，由圖象得：0≤x＜2，
x＜0時，f（x）＜0，即xf（x）＞0，由圖象得：-2＜x＜0，
綜上：x∈（-2，2），
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性問題，考查導數(shù)的應用，構造函數(shù)g（x）=xf（x）是解題的關鍵，本題是一道中檔題．