Question

【題目】如圖所示，已知長方形ABCD，AD=2CD=4，M、N分別為AD、BC的中點，將長方形ABCD沿MN折到MNFE位置，且使平面MNFE⊥平面ABCD．

（1）求證：直線CM⊥面DFN；

（2）求點C到平面FDM的距離．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）推導出DN⊥CM，CM⊥FN，由此能證明CM⊥平面DFN．（2）以M為原點，MN為x軸，MA為y軸，ME為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出點C到平面FDM的距離．

證明：（1）∵長方形ABCD，AD=2CD=4，M、N分別為AD、BC的中點，
將長方形ABCD沿MN折到MNFE位置，且使平面MNFE⊥平面ABCD．
∴DN⊥CM，CM⊥FN，

又DN∩FN=N，∴CM⊥平面DFN．

解：（2）以M為原點，MN為x軸，MA為y軸，ME為z軸，建立空間直角坐標系，
則C（2，-2，0），D（0，-2，0），F（2，0，2），M（0，0，0），
=（2，-2，0），=（0，-2，0），=（2，0，2），
設平面FDM的法向量=（x，y，z），
則，取x=1，得=（1，0，-1），
∴點C到平面FDM的距離d===．