Question

13．在直角坐標系xOy中，已知直線l₁：y=tanα•x（0≤a＜π，α$≠\frac{π}{2}$），拋物線C：$\left\{\begin{array}{l}{x={t}^{2}}\\{y=-2t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系
（Ⅰ）求直線l₁和拋物線C的極坐標方程；
（Ⅱ）若直線l₁和拋物線C相交于點A（異于原點O），過原點作與l₁垂直的直線l₂，l₂和拋物線C相交于點B（異于原點O），求△OAB的面積的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線l₁是過原點且傾斜角為α 的直線，拋物線C的普通方程為y²=4x，由此能求出直線l₁和拋物線C的極坐標方程．
（Ⅱ）由直線l₁和拋物線C有兩個交點知α≠0，把θ=α代入ρsin²θ=4cosθ，得ρ_A=$\frac{4cosα}{si{n}^{2}α}$，直線l₂的極坐標方程為$θ=α+\frac{π}{2}$，（ρ∈R），代入ρsin²θ=4cosθ，求出ρ_B=-$\frac{4sinα}{co{s}^{2}α}$，由此能求出△OAB的面積的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵直線l₁：y=tanα•x（0≤a＜π，α$≠\frac{π}{2}$），
∴直線l₁是過原點且傾斜角為α 的直線，
其極坐標方程為θ=α（$α≠\frac{π}{2}$），（2分）
拋物線C的普通方程為y²=4x，（3分）
其極坐標方程為（ρsinθ）²=4ρcosθ，
化簡得ρsin²θ=4cosθ．（5分）
（Ⅱ）由直線l₁和拋物線C有兩個交點知α≠0，
把θ=α代入ρsin²θ=4cosθ，得ρ_A=$\frac{4cosα}{si{n}^{2}α}$，（6分）
可知直線l₂的極坐標方程為$θ=α+\frac{π}{2}$，（ρ∈R），（7分）
代入ρsin²θ=4cosθ，得ρ_Bcos²α=-4sinα，
所以ρ_B=-$\frac{4sinα}{co{s}^{2}α}$，（8分）
${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}|OA|•|OB|=\frac{1}{2}|{ρ}_{A}|•|{ρ}_{B}|$=$\frac{16}{|2sinαcosα|}$=$\frac{16}{|sin2α|}$≥16，
∴△OAB的面積的最小值為16．（10分）

點評 本題考查拋物線、直線方程、極坐標方程、直角坐標方程、參數(shù)方程、三角形面積等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題．