Question

9．已知函數(shù)y=a^x+b（b＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（1，2），如圖所示，則$\frac{4}{a-1}$+$\frac{1}$的最小值為3．

Answer 1

分析 本題考了指數(shù)函數(shù)的圖象可知，a＞1；經(jīng)過點(diǎn)P，則P點(diǎn)滿足y=a^x+b．由基本不等式a+b≥$2\sqrt{ab}$，整體構(gòu)造基本不等式即可得到答案．

解答 解：∵函數(shù)y=a^x+b（b＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（1，2），
∴a+b=2⇒a-1+b=3⇒$\frac{a-1}{3}+\frac{3}=1$，
則（$\frac{4}{a-1}$+$\frac{1}$）×（$\frac{a-1}{3}+\frac{3}$）=$\frac{4}{3}+\frac{1}{3}+（\frac{4b}{3（a-1）}+\frac{a-1}{3b}）$
由基本不等式a+b≥$2\sqrt{ab}$，
∴$\frac{4b}{3（a-1）}+\frac{a-1}{3b}≥2\sqrt{\frac{4}{9}}$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{3（a-1）}=\frac{a-1}{3b}$，即a=$\frac{3}{2}$，b=$\frac{1}{2}$時(shí)取等號(hào)．
∴（$\frac{4}{a-1}$+$\frac{1}$）×$\frac{a-1}{3}+\frac{3}$=$\frac{4}{3}+\frac{1}{3}+（\frac{4b}{3（a-1）}+\frac{a-1}{3b}）$≥3
所以：$\frac{4}{a-1}$+$\frac{1}$的最小值為3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，a＞1．整體構(gòu)造的思想，通過基本不等式得到答案．此題屬于中檔題，