Question

8．已知函數(shù)f（x）=2acosx（${\sqrt{3}$sinx+cosx）+a²，其中a為常數(shù)且a＞0．
（Ⅰ）若對于任意x∈R都有f（x）＜4恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若f（-$\frac{π}{6}}$）=4，求關(guān)于x的不等式f（x）＞8的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡函數(shù)f（x），利用三角函數(shù)的有界性得出關(guān)于a的不等式，求不等式的解集即可；
（Ⅱ）根據(jù)f（-$\frac{π}{6}$）的值求出a，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出不等式的解集．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=2acosx（$\sqrt{3}$sinx+cosx）+a²
=2$\sqrt{3}$asinxcosx+2acos²x+a²
=a（$\sqrt{3}$sin2x+1+cos2x）+a²
=2asin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+a²，
∵-1≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，a＞0，
∴2asin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+a²≤2a+a=a²+3a＜4，
即a²+3a-4＜0，
解得-4＜a＜1；
又a＞0，所以a∈（0，1）；
（Ⅱ）∵f（-$\frac{π}{6}$）=2asin[2×（-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]+a+a²=a²=4，
且a＞0，∴a=2，
∴f（x）=4sin（2x+$\frac{π}{6}$）+6；
當(dāng)f（x）＜8時，4sin（2x+$\frac{π}{6}$）+6＜8，
即sin（2x+$\frac{π}{6}$）＜$\frac{1}{2}$，
所以-$\frac{7π}{6}$+2kπ＜2x+$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{6}$+2kπ，k∈Z．
解得-$\frac{2π}{3}$+kπ＜x＜kπ，k∈Z，
所以不等式的解集為{ x|-$\frac{2π}{3}$+kπ＜x＜kπ，k∈Z}．

點評 本題考查了三角函數(shù)的化簡與不等式的解法應(yīng)用問題，也考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是綜合性題目．