Question

20．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=pⁿ+q（p，q∈R），且a₁=-$\frac{1}{2}$，a₂=-$\frac{3}{4}$．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）-$\frac{255}{256}$是否為數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)，若是，是第幾項(xiàng)？若不是請(qǐng)說明理由．
（3）該數(shù)列是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列？

Answer 1

分析 （1）由a_n=pⁿ+q，a₁=-$\frac{1}{2}$，a₂=-$\frac{3}{4}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{p+q=-\frac{1}{2}}\\{{p}^{2}+q=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，解出即可得出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）令a_n=-$\frac{255}{256}$，即（$\frac{1}{2}$）ⁿ-1=-$\frac{255}{256}$，解出n即可得出．
（3）由于a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ-1，且（$\frac{1}{2}$）ⁿ隨n的增大而減小，即可得出單調(diào)性．

解答 解：（1）∵a_n=pⁿ+q，
又a₁=-$\frac{1}{2}$，a₂=-$\frac{3}{4}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{p+q=-\frac{1}{2}}\\{{p}^{2}+q=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=\frac{1}{2}}\\{q=-1}\end{array}\right.$．
因此{(lán)a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ-1．
（2）令a_n=-$\frac{255}{256}$，即（$\frac{1}{2}$）ⁿ-1=-$\frac{255}{256}$，
∴（$\frac{1}{2}$）ⁿ=$\frac{1}{256}$，n=8．故-$\frac{255}{256}$是{a_n}中的第8項(xiàng)．
（3）由于a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ-1，且（$\frac{1}{2}$）ⁿ隨n的增大而減小，
因此a_n的值隨n的增大而減小，故{a_n}是遞減數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．