【題目】已知二次函數(shù)f(x)=ax2bxc(a,b,cR)滿足:對任意實數(shù)x,都有f(x)≥x,且當x(1,3)時,有f(x)≤ (x+2)2成立.

(1)證明:f(2)=2;

(2)f(-2)=0,求f(x)的表達式;

(3)設(shè)g(x)=f(x)-x,x[0,+∞),若g(x)圖象上的點都位于直線y的上方,求實數(shù)m的取值范圍.

【答案】(1)見解析(2)f(x)=x2x.(3)m(-∞,1+).

【解析】

(1)由題得,所以f(2)=2.(2)由f(2)=2,f(-2)=0得到a,b,c的方程組,再根據(jù)f(x)≥x恒成立得到ax2+(b-1)xc≥0恒成立,即a>0.Δ=(-1)2-4a(1-4a)≤0,解出a,b,c的值即得f(x)的表達式.(3)先轉(zhuǎn)化為x2+4(1-m)x+2>0x[0,+∞)恒成立,再利用二次函數(shù)的圖像數(shù)形結(jié)合分析得到m的取值范圍.

(1)證明:由條件知:

f(2)=4a+2bc≥2恒成立.

又因取x=2時,f(2)=4a+2bc (2+2)2=2恒成立,∴f(2)=2.

(2),

4ac=2b=1.

bc=1-4a. 

f(x)≥x恒成立,即ax2+(b-1)xc≥0恒成立.

a>0.Δ=(-1)2-4a(1-4a)≤0,

解出ab,c.

f(x)=x2x.

(3)g(x)=x2+()x>x[0,+∞)必須恒成立.

x2+4(1-m)x+2>0x[0,+∞)恒成立,

Δ<0,即[4(1-m)]2-8<0.

解得:1-<m<1+.

解得:m≤1-,

綜上m∈(-∞,1+).

練習(xí)冊系列答案
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【題目】德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著,以其名命名的函數(shù)f(x)= ,稱為狄利克雷函數(shù),則關(guān)于函數(shù)f(x)有以下四個命題: ①f(f(x))=1;
②函數(shù)f(x)是偶函數(shù);
③任意一個非零有理數(shù)T,f(x+T)=f(x)對任意x∈R恒成立;
④存在三個點A(x1 , f(x1)),B(x2 , f(x2)),C(x3 , f(x3)),使得△ABC為等邊三角形.
其中真命題的個數(shù)是(
A.4
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C.2
D.1

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A. (0,1]

B. [-1,0)

C.

D.

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(Ⅱ)若a>0且滿足:對x1 , x2∈[﹣1,1],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤ln3﹣ln2,試比較ea1 的大小,并證明.

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【題目】函數(shù)f(x)=x3+x,x∈R,當 時,f(msinθ)+f(1﹣m)>0恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是(
A.(0,1)
B.(﹣∞,0)
C.
D.(﹣∞,1)

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(Ⅱ)設(shè)a>﹣1,且存在x0∈[﹣a,1),使得f(x0)≤0,求a的取值范圍.

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(1)求f(x)的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)在△ABC中,a、b、c分別是角A、B、C的對邊,已知f(A)=2,b=1,△ABC的面積為 ,求 的值.

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