Question

13．如圖所示，凸五面體ABCED中，DA⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，AC=AD=AB=1，
BC=$\sqrt{2}$，F(xiàn)為BE的中點．
（I）若CE=2，
求證：①DF∥平面ABC；
②平面BDE⊥平面BCE；
（II）若動點E使得凸多面體ABCED體積為$\frac{1}{3}$，求線段CE的長度．

Answer 1

分析 （I）①取BC的中點G，連接GF，GA，通過證明四邊形AGFD是平行四邊形得出DF∥AG，故DF∥平面ABC；
②證明AG⊥平面BCE，得出DF⊥平面BCE，故有平面BDE⊥平面BCE；
（II）先證明AB⊥平面ACED，再代入棱錐的體積公式計算CE．

解答 證明：（I）①取BC的中點G，連接GF，GA，
∵G，F(xiàn)分別是BC，BE的中點，
∴GF∥CE，GF=$\frac{1}{2}$CE=1，
∵DA⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，
∴DA∥CE，又DA=1，
∴AD∥GF，AD=GF，
∴四邊形AGFD是平行四邊形，
∴DF∥AG，又AG?平面ABC，DF?平面ABC，
∴DF∥平面ABC．
②∵AB=AC，G是BC的中點，
∴AG⊥BC，
∵CE⊥平面ABC，AG?平面ABC，
∴AG⊥CE，
又BC?平面BCE，CE?平面BCE，BC∩CE=C，
∴AG⊥平面BCE．
∵AG∥DF，
∴DF⊥平面BCE，又DF?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BCE．
（II）∵AB=AC=1，BC=$\sqrt{2}$，
∴AB⊥AC，
∵AD⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴AB⊥AD，又AD?平面ACED，AC?平面ACED，AD∩AC=A，
∴AB⊥平面ACED．
∴V_ABCED=V_B-ACED=$\frac{1}{3}$S_梯形ACED•AB=$\frac{1}{3}×$$\frac{1}{2}$（1+CE）×1×1=$\frac{1}{3}$．
∴CE=1．

點評 本題考查了線面平行，面面垂直的判定定理，棱錐的體積計算，屬于中檔題．