Question

13．從橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上一點M向x軸作垂線，垂足恰為左焦點F₁，點A、B是橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點，且AB∥OM，|F₁A|=$\sqrt{2}+1$．
（1）求該橢圓的離心率；
（2）若P是該橢圓上的動點，右焦點為F₂，求$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的取值范圍．
（3）若直線y=kx+m與橢圓E有兩個交點P和Q，且原點O總在以PQ為直徑的圓的內(nèi)部，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先計算PF₁的長，再利用兩直線平行得tan∠MOF₁，最后在直角三角形MOF₁中，找到a、b、c間的等式，從而求出離心率；
（2）由|F₁A|=$\sqrt{2}+1$，可得a+c=$\sqrt{2}+1$，再由a=$\sqrt{2}$c，解得a，c，再求b，進而得到橢圓方程，設(shè)出P的坐標，運用向量的數(shù)量積的坐標表示，結(jié)合橢圓的范圍，即可得到所求的最值，進而得到所求范圍；
（3）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則將直線與橢圓的方程聯(lián)立，消去y，利用判別式以及韋達定理，通過數(shù)量積小于0，求出m、k的關(guān)系式，進一步求得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)F₁（-c，0），
將x=-c代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
得y=±$\frac{^{2}}{a}$，
∴|MF₁|=$\frac{^{2}}{a}$，|OF₁|=c，
∵AB∥OM，∴tan∠MOF₁=tan∠BAO=$\frac{a}$，
∴在直角三角形MOF₁中，tan∠MOF₁=$\frac{|M{F}_{1}|}{|O{F}_{1}|}$=$\frac{^{2}}{ac}=\frac{a}$，
∴b=c，則a=$\sqrt{2}$c，
∵|F₁A|=$\sqrt{2}+1$=a+c=$（\sqrt{2}+1）c$，
∴c=1，a=$\sqrt{2}$，則e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）由|F₁A|=$\sqrt{2}+1$，
可得a+c=$\sqrt{2}+1$，
又a=$\sqrt{2}$c，解得a=$\sqrt{2}$，c=1，b=1，
則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
設(shè)P（m，n），可得m²+2n²=2，
又F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-1-m，-n），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（1-m，-n），
即有$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-1-m）（1-m）+n²
=m²+n²-1=1-n²，
由-1≤n≤1，
可得n=0，取得最大值1，n=±1時，取得最小值0．
則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$ 的取值范圍是[0，1]；
（3）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則將直線與橢圓的方程聯(lián)立得：
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，消去y，得：（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，△＞0，m²＜2k²+1…①
 x₁+x₂=-$\frac{4km}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
∵O在以PQ為直徑的圓的內(nèi)部，故$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$＜0，即x₁x₂+y₁y₂＜0，
而y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=${k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}$=$\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，
由x₁x₂+y₁y₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}+\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$＜0，
得：m²＜$\frac{2{k}^{2}+2}{3}$，∴m²＜$\frac{2}{3}$，滿足①，
故m的取值范圍是（-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$）．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查橢圓離心率的求法，注意運用兩直線平行的條件，考查平面向量的數(shù)量積的范圍，注意運用坐標表示，結(jié)合橢圓的范圍，屬于中檔題