Question

3．已知四邊形ABCD，AC是BD的垂直平分線，垂足為E，O為四邊形ABCD外一點(diǎn)，設(shè)|$\overrightarrow{OB}$|=5，|$\overrightarrow{OD}$|=3，則（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OD}$）=16．

Answer 1

分析 根據(jù)條件，AC垂直平分線段BD，從而得出$\overrightarrow{EA}•\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{DB}=0$，$\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{0}$，而$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EA}$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EC}$，且$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{DB}$，代入$（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}）•（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}）$進(jìn)行向量加法和數(shù)量積的運(yùn)算便可求出答案．

解答 解：∵AC是BD的垂直平分線；
∴$\overrightarrow{EA}•\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{DB}=0$，$\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{0}$；
∴$（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}）•（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}）$
=$（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EC}）$$•\overrightarrow{DB}$
=$（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}）•（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}）+$$（\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EC}）•\overrightarrow{DB}$
=${\overrightarrow{OB}}^{2}-{\overrightarrow{OD}}^{2}$
=25-9
=16．
故答案為：16．

點(diǎn)評(píng) 考查垂直平分線的概念，向量垂直的充要條件，向量加法的幾何意義，相反向量的概念，以及向量減法的幾何意義，向量數(shù)量積的運(yùn)算．