Question

13．設(shè)0＜a＜1，函數(shù)y=a^2x+2a^x-1在[-1，1]上的最大值是14，求a的值．

Answer 1

分析 利用換元法，通過二次函數(shù)的閉區(qū)間上的最大值，列出方程求解即可．

解答 解：令t=a^x（a＞0且a≠1），則原函數(shù)化為y=（t+1）²-2（t＞0）．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x∈[-1，1]，t=a^x∈[a，$\frac{1}{a}$]，---------（4分）
此時(shí)f（t）在[a，$\frac{1}{a}$]上為增函數(shù)．
所以f（t）_max=f（$\frac{1}{a}$）=（$\frac{1}{a}$+1）²-2=14．---（8分）
所以（$\frac{1}{a}$+1）²=16，所以a=-$\frac{1}{5}$或a=$\frac{1}{3}$．
又因?yàn)?＜a＜1，所以a=$\frac{1}{3}$．---------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，換元法的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值的求法，考查計(jì)算能力．