Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-5|，x∈R．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤x+10的解集；
（Ⅱ）如果關(guān)于x的不等式f（x）≥a-（x-2）²在R上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡f（x）的解析式，分類討論求得不等式f（x）≤x+10的解集．
（Ⅱ）由題意可得f（x）在x∈[-1，5]上的最小值大于或等于g（x）的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-2x+4（x≤-1）\\ 6（-1＜x≤5）\\ 2x-4（x＞5）\end{array}\right.$，
當(dāng)x≤-1時，應(yīng)有-2x+4≤x+10，解不等式得-2≤x≤-1，
當(dāng)-1＜x≤5時，應(yīng)有6≤x+10，解不等式得-1＜x≤5，
當(dāng)x＞5時，應(yīng)有2x-4≤x+10，解不等式得5＜x≤14，
綜上可得，不等式f（x）≤x+10的解集為[-2，14]．
（Ⅱ）設(shè)g（x）=a-（x-2）²，由函數(shù)f（x）與g（x）的解析式，
可得f（x）在x∈[-1，5]上取最小值為6，g（x）在x=2時取最大值為a，
若f（x）≥g（x）恒成立，則a≤6．

點評 本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．