Question

5．在風(fēng)速為75（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）km/h的西風(fēng)中，飛機以150km/h的航速向西北飛行，求沒有風(fēng)時飛機的航速與航向．

Answer 1

分析 可考慮用向量解決，可以作出向量$\overrightarrow{OA}$表示風(fēng)速，$\overrightarrow{OB}$表示飛機的實際航速，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則便可作出向量$\overrightarrow{OC}$表示沒有風(fēng)時飛機的航速，這樣根據(jù)余弦定理和正弦定理便可求出向量$\overrightarrow{OC}$的長度及∠BOC的大小，即求出沒有風(fēng)時飛機的航速和航向．

解答 解：如圖，向量$\overrightarrow{OA}$表示風(fēng)速，$\overrightarrow{OB}$表示飛機的航速，連接AB，過B作OA的平行線，過O作AB的平行線，兩平行線交于C，則：

向量$\overrightarrow{OC}$表示沒有風(fēng)時飛機的航速；
在△OBC中，OB=150，BC=$75（\sqrt{6}-\sqrt{2}）$，∠OBC=135°；
∴由余弦定理得，$O{C}^{2}=15{0}^{2}+[75（\sqrt{6}-\sqrt{2}）]^{2}-2$$•150•75（\sqrt{6}-\sqrt{2}）（-\frac{\sqrt{2}}{2}）=15{0}^{2}•2$；
∴$OC=150\sqrt{2}$；
根據(jù)正弦定理，$\frac{150\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{150}{sin∠BOC}$；
∴$sin∠BOC=\frac{1}{2}$；
∴∠BOC=30°；
∴沒有風(fēng)時飛機的航速為$150\sqrt{2}$km/h，航向為北偏西60°．

點評 考查向量法解決實際問題，以及余弦定理和正弦定理，已知三角函數(shù)值求角，向量加法的平行四邊形法則．