Question

18．若點P（cosα，sinα）在直線y=-2x上，則$cos（2α+\frac{π}{3}）$的值等于$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$．

Answer 1

分析 由條件利用兩角和差的余弦公式、二倍角的余弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)，求得要求式子的值．

解答 解：∵點P（cosα，sinα）在直線y=-2x上，∴sinα=-2cosα，即tanα=-2，
∴$cos（2α+\frac{π}{3}）$=$\frac{1}{2}$cos2α-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2α=$\frac{1}{2}$•$\frac{{cos}^{2}α{-sin}^{2}α}{{cos}^{2}α{+sin}^{2}α}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{2sinα•cosα}{{cos}^{2}α{+sin}^{2}α}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{1{-tan}^{2}α}{1{+tan}^{2}α}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{2tanα}{1{+tan}^{2}α}$
=$\frac{1}{2}$•$\frac{1-4}{1+4}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{2•（-2）}{1+4}$=$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$，
故答案為：$\frac{4\sqrt{4}-3}{10}$．

點評 本題主要考查兩角和差的余弦公式、二倍角的余弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．