Question

3．已知函數(shù)f（x）=sin²（x+$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{3}$cos（x+$\frac{π}{4}$）cos（x-$\frac{π}{4}$），x∈R
（1）求函數(shù)y=f（x）的圖象的對稱中心；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向下平移$\frac{1}{2}$個(gè)單位．再向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位得函數(shù)y=g（x）的圖象，試寫出y=g（x）的解析式并作出它在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上的圖象．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$，令2x-$\frac{π}{3}$=kπ，求得x的值，可得函數(shù)的圖象的對稱中心；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象變換規(guī)律得出g（x），利用五點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象．

解答 解：（1）f（x）=sin²（x+$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{3}$cos（x+$\frac{π}{4}$）cos（x-$\frac{π}{4}$），x∈R
=$\frac{1}{2}$（1-cos2（x+$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{3}$cos（x+$\frac{π}{4}$）sin（x+$\frac{π}{4}$），
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos（2x+$\frac{π}{2}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{2}$），
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$，
=sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$，
令2x-$\frac{π}{3}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$，可得函數(shù)的圖象的對稱中心為（$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$，0）；
（2）y=f（x）的圖象向下平移$\frac{1}{2}$個(gè)單位得：sin（2x-$\frac{π}{3}$）再向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位，
y=g（x）=sin[2（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
y=g（x）的解析式：y=g（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
y=g（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上的圖象如圖：

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖象平移，利用五點(diǎn)法繪制函數(shù)圖象，屬于中檔題．