Question

如圖，橢圓的左頂點(diǎn)為，是橢圓上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．

（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的值；
（2）若橢圓上存在點(diǎn)，使得，求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）． （Ⅱ）．

解析試題分析：Ⅰ）解：依題意，是線段的中點(diǎn)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/2b/3/1vtbw4.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以 點(diǎn)的坐標(biāo)為．      2分
由點(diǎn)在橢圓上，所以 ，                            4分
解得 ．                                                     5分
（Ⅱ）解：設(shè)，則 ，且．     ①          6分
因?yàn)?是線段的中點(diǎn)，
所以 ．                                             7分
因?yàn)?，
所以 ．    ②                             8分
由 ①，② 消去，整理得 ．                         10分
所以 ，                       12分
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，上式等號(hào)成立．又
所以 的取值范圍是．                                 13分
考點(diǎn)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，均值定理的應(yīng)用。
點(diǎn)評(píng)：中檔題，運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì)，a,b,c,e的關(guān)系要熟練掌握。曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。涉及直線垂直問題，利用斜率的坐標(biāo)運(yùn)算，得到m的表達(dá)式，利用均值定理得到其范圍。本題難度不大，綜合性較強(qiáng)。