Question

已知f（x）=x²+ax+3，當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）＞a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：把f（x）=x²+ax+3代入f（x）＞a，分離參數(shù)a后得到a＜

x2+3

1-x

，令 1-x=t換元，得到a＜t+

4

t

-2（0＜t≤2），求出函數(shù)g（t）=t+

4

t

-2（0＜t≤2）的最小值后得答案．

解答： 解：由f（x）＞a，得x²+ax+3＞a，
即a（1-x）＜x²+3，
∵x∈[-1，1]，
當(dāng)x=1時(shí)，對于任意實(shí)數(shù)a都成立；
當(dāng)x≠1時(shí)，a＜

x2+3

1-x

．
令 1-x=t，
則x=1-t，x²=t²-2t+1且-1≤1-t＜1，0＜t≤2，
則x²+3=t²-2t+4，
a＜

t2-2t+4

t

=t+

4

t

-2（0＜t≤2）．
令g（t）=t+

4

t

-2（0＜t≤2）．
則當(dāng)t=2時(shí)函數(shù)g（t）有最小值為2．
∴a＜2．
綜上，a＜2．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了分離參數(shù)法，考查了利用基本不等式求最值，是中檔題．