Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

6

3

，且過(guò)點(diǎn)（0，1）．
（1）求橢圓方程；
（2）設(shè)A（2，2），在橢圓上求一點(diǎn)B，使△OAB的面積最小；
（3）Q在橢圓上，延長(zhǎng)OQ至P，使|OP|=2|OQ|，設(shè)C（-2

2

，0），D（2

2

，0）求證：|PC|+|PD|為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：對(duì)于第（1）問(wèn)，由離心率得a與c的齊次關(guān)系，聯(lián)立c²=a²-b²，得a與b的齊次關(guān)系，由橢圓過(guò)點(diǎn)（0，1）知，b=1，從而得a²與b²的值，即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
對(duì)于第（2）問(wèn)，由于|OA|確定，要使△OAB的面積最大，只需點(diǎn)B到直線OA的距離最大即可，可將直線OA平移至與橢圓相切時(shí)，OA與切線間的距離即為點(diǎn)B到OA的最大距離，設(shè)切線方程為l：y=x+b，聯(lián)立橢圓方程，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，由△=0，得b的值，由此可探求點(diǎn)B的坐標(biāo)．
對(duì)于第（3）問(wèn)，設(shè)點(diǎn)P（x，y），點(diǎn)Q（x0，y₀），先由代入法求得點(diǎn)P的軌跡為橢圓，算出此橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可知|PC|+|PD|為定值．

解答： 解：（1）由e=

6

3

，得

c

a

=

6

3

，即

c2

a2

=

2

3

，
∵c²=a²-b²，∴

a2-b2

a2

=

2

3

，得a²=3b²，…①
又此橢圓過(guò)點(diǎn)（0，1），∴b=1，…②
聯(lián)立①，②，得a²=3，b²=1，
從而橢圓的方程為

x2

3

+y2=1．
（2）設(shè)點(diǎn)B到直線OA的距離為d，則S△OAB=

1

2

|OA|•d=

1

2

×2

2

•d=

2

d，
所以當(dāng)d最大時(shí)，S_△0AB最大．
由于直線OA的斜率kOA=

2

2

=1，可設(shè)與OA平行且與橢圓相切的直線方程為l：y=kx+b，
此時(shí)直線OA與l的距離即為d的最大值．
聯(lián)立直線l與橢圓方程，消去y，得4x²+6bx+3b²-3=0，
由△=0，得（6b）²-4×4（3b²-3）=0，得b=±2，
當(dāng)b=2時(shí)，有4x²+12x+9=0，得x=-

3

2

，從而y=-

3

2

+2=

1

2

，即B(-

3

2

，

1

2

)；
當(dāng)b=-2時(shí)，有4x²-12x+9=0，得x=

3

2

，從而y=

3

2

-2=-

1

2

，即B(

3

2

，-

1

2

)．
故當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-

3

2

，

1

2

)或(

3

2

，-

1

2

)時(shí)，△OAB的面積最大．
（3）設(shè)P（x，y），Q（x₀，y₀），
因?yàn)閨OP|=2|OQ|，則由中點(diǎn)公式得

x0= x 2 y0= y 2

，…③
又點(diǎn)Q在橢圓上，得

x 2 0

3

+

y

2 0

=1，…④
將③代入④中，得

( x 2 )2

3

+(

y

2

)2=1，即點(diǎn)P的軌跡為橢圓：

x2

12

+

y2

4

=1，
易知其左、右焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為C(-2

2

，0)、D(2

2

，0)，
根據(jù)橢圓定義知，點(diǎn)P到C、D的距離之和為2×2

3

=4

3

，即|PC|+|PD|為定值，得證．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的定義，橢圓的方程與軌跡方程的求法，三角形面積的最值問(wèn)題，及直線與橢圓的相切關(guān)系等，關(guān)鍵是運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將點(diǎn)到直線距離轉(zhuǎn)化為兩平行直線間的距離，并利用橢圓的定義獲取定值．