Question

設(shè)函數(shù)f_n（x）=x-

x3

3!

+

x5

5!

-…+（-1）^n-1

x2n-1

(2n-1)!

，（x∈[0，1]，n∈N^*），則（　�。�

• A、f₂（x）≤sinx≤f₃（x）
• B、f₃（x）≤sinx≤f₂（x）
• C、sinx≤f₂（x）≤f₃（x）
• D、f₂（x）≤f₃（x）≤sinx

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

專題：二項(xiàng)式定理

分析：構(gòu)造函數(shù)F（x）=sinx-f₂（x），利用導(dǎo)數(shù)可得F（x）是[0 1]內(nèi)的增函數(shù)，F(xiàn)（x）≥0，即f₂（x）≤sinx．同理f₃（x）≥sinx，從而得到sinx、f₂（x）、f₃（x）的大小關(guān)系．

解答： 解：∵函數(shù)f_n（x）=x-

x3

3!

+

x5

5!

-…+（-1）^n-1

x2n-1

(2n-1)!

，（x∈[0，1]，n∈N^*），
則f₂（x）=x-

x3

6

，f₃（x）=x-

x3

6

+

x5

120

，顯然f₂（x）≤f₃（x）．
構(gòu)造函數(shù)F（x）=sinx-f₂（x）=sinx-x+

x3

6

，其中0≤x≤1，且F（0）=0．
所以F'（x）=cosx-1+

x2

2

，且F'（0）=0，
F''（x）=-sinx+x=x-sinx≥0恒成立，
所以F'（x）遞增，所以F'（x）≥F'（0）=0，所以F（x）是[0 1]內(nèi)的增函數(shù)，F(xiàn)（x）≥0，
即sinx-f₂（x）≥0恒成立，所以，f₂（x）≤sinx．
同理可證：f₃（x）≥sinx，
故選：A．

點(diǎn)評：本題主要考查比較幾個(gè)數(shù)的大小的方法，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．