Question

求函數(shù)f（x）=x+

a

x

+lnx，（a∈R）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論①當(dāng)△=1+4a≤0②當(dāng)△=1+4a＞0的情況，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：函數(shù)f(x)=x+

a

x

+lnx的定義域為（0，+∞），
∴f′（x）=

x2+x-a

x2

．
①當(dāng)△=1+4a≤0，即a≤-

1

4

時，得x²+x-a≥0，則f′（x）≥0．
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
②當(dāng)△=1+4a＞0，即a＞-

1

4

時，令f′（x）=0得x²+x-a=0，
解得x1=

-1- 1+4a

2

＜0，x2=

-1+ 1+4a

2

．
（ⅰ） 若-

1

4

＜a≤0，則x2=

-1+ 1+4a

2

≤0．
∵x∈（0，+∞），∴f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（ⅱ）若a＞0，則x∈(0，

-1+ 1+4a

2

)時，f′（x）＜0；
x∈(

-1+ 1+4a

2

，+∞)時，f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間(0，

-1+ 1+4a

2

)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(

-1+ 1+4a

2

，+∞)上單調(diào)遞增．
綜上所述，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，

-1+ 1+4a

2

)，單調(diào)遞增區(qū)間為(

-1+ 1+4a

2

，+∞)．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分類討論，是一道中檔題．